平均寿命と半減期

核崩壊の特徴

不安定な原子核が、自発的に、より安定な原子核に変化していくことがある。そのときに、α粒子が原子核から飛び出したり、中性子が陽子に変わって電子を放出したりする。これを核崩壊という。前者をα崩壊、後者をβ崩壊と呼ぶのであった。（原子核に中性子がぶつかって他発的に核が大きく分裂する核分裂とは区別しよう）。


この核崩壊には際立った特徴がある。それは、独立で確率的な現象であるということである。
まず、温度・圧力・濃度・年齢・化学結合などには（ごく一部の例外を除いて）関係しない。これは原子核崩壊が、まわりの原子・原子核の様子には一切影響を受けないことを意味している。原子核崩壊は単独の現象である。（対照的に人間が部屋から出るような場合はまわりの人の動きに影響を受ける）。
また、１個の原子核に注目したとき、その原子核が「いつ」崩壊するのかは絶対にわからない。観測を続けていると、あるとき崩壊していることが観測されるだけで、それを予知することは不可能である。１秒後かもしれないし、１万年後かもしれない。しかし、無数の原子核のうち、たとえば半分が崩壊するのにかかる時間がどれだけかは厳密に分かる。また、目の前の原子核がこれから１時間の間に崩壊する確率も厳密に求められる。原子核崩壊は、つねに一定の確率で起こる現象で、いつ起きるのかは確率的にしか分からない（でも確率はわかる）現象である。

なぜ確率的なのか

なぜ核崩壊は独立で確率的な現象なのだろうか。それを理解するためには量子力学が必要である。量子力学では、粒子は波動としての性質も合わせもっている。陽子・中性子・α粒子と聞くと、粒子としてイメージするだろうが波でもある。（ここらへんの話は、ここではあまり踏みこまない）。その波は複素関数で表わされる波なのだが、その２乗（より正確には複素共役との掛け算：a+biとa-biを掛け合わせるようなもの。すると実数になる）は、粒子の存在確率を表わす（と解釈することができる）。
さてα崩壊の場合、α粒子は核内から核外にでるときに、古典的に考えると越えられないはずの位置エネルギーを乗り越えて外に出てくることが分かった。


これを量子力学で説明したのがOppenheimerやGamowである。α粒子の波が、位置エネルギーの壁に"しみこんで"外へと出るのである。そして、それは存在確率のもととなるので、あるとき、ある確率でα粒子は壁の外に出現する。越えられないはずの壁を越えるので、こういう現象を「トンネル効果」という。これがα崩壊が確率的な理由である。


トンネル効果とはちがう説明もできる。「エネルギーのゆらぎ」である。量子力学によれば、エネルギーと時間は不確定性関係があり、両方を厳密に決定することは原理的に不可能である。そして、時間が短くなればなるほど、エネルギーの不確定性が大きくなる。別な言い方をすれば、「わずかな時間であれば、エネルギー保存則がなりたってなくてもよい」ということである。よって、α粒子はわずかな時間に大きなエネルギーを得て、本来越えられないエネルギーの壁を越えてしまうのである。このゆらぎは確率的なので、α崩壊も確率的ということになる。もちろん壁が高かったり厚かったりすると、許される時間とエネルギーの関係では乗り越えにくくなっていくので、確率は低くなる。


β崩壊が確率的な理由も同様で、エネルギーのゆらぎによって、Ｗ⁻粒子という粒子が出現し、それが一瞬で電子と反ニュートリノに崩壊するのである。なお、Ｗ粒子は陽子・中性子の約80倍の質量をもつ。エネルギーのゆらぎによって、ほんのわずかな時間であっても、そのような巨大質量の粒子が出現していると思うと、β崩壊のイメージが変わるのではないだろうか。

原子核の個数変化の様子

さて、確率的に崩壊していく原子核の個数がどのように変化していくか考えてみよう。（こういう原子・原子核のことを放射性同位体・放射性核種という）。崩壊せずに残る核の個数は、崩壊が進むにつれ、どんどんと減っていく。したがって個数と時間の関係を示すグラフを描くと、概形は下図のようになることが予想される。これを数学を使って考えてみる。


ある微小時間Δｔの間に崩壊する原子核の数は、そのとき崩壊せずに残っている原子核の数に比例するはずである。（独立で確率的な現象だから）。そして、崩壊した数だけ、崩壊せずに残る数は減る（アタリマエ）。
よって、ある定数 λ を用いて下式が成り立つはずである。ΔＮはΔｔの間の個数変化である。減少する変化なのでΔＮはマイナスである。崩壊した個数は、減少した数と同じなので、−ΔＮとあらわせる。


この λ を崩壊定数と呼ぶ。放射性同位体の種類によって決まる値で、λ が大きいほど崩壊の確率が大きいことを意味する。さて、極限を考えて微分方程式に変形しよう。
Ｎは時刻 ｔ の関数である。時刻ゼロでの原子核数をＮ₀としよう。すると微分方程式を満たす Ｎ はすぐに求まる。このグラフの概形は図のようになる。これは上で描いた図と同様である。

平均寿命と半減期

崩壊の「速さの度合い」を示すために用いられるのが、「平均寿命」と「半減期」である。平均寿命は理論物理で好んで用いられるが高校物理では用いられない。半減期は放射線工学でよく用いられていて、高校物理でも出てくる。平均寿命より半減期の方が、自然対数ｅを用いない分、数学的に分かりやすいからだろう。一方、数学的には平均寿命の方がスッキリしている。素粒子物理では平均寿命しか使わない、くらいに思ってよい。
さて、それでは半減期と平均寿命について考えてみよう。
まず半減期とは、崩壊せずに残っている核の数が半分になるまでにかかる時間である。それをよく Ｔ と書く。すると、いままでの話の流れとは別に、Ｎ−ｔグラフの式が式（２）のようになることがわかる。これが上の式（１）と一致するのだが、それを確かめるのは平均寿命について理解してからにしよう。


平均寿命とは、崩壊せずに残っている核の数が、１／ｅになるまでの時間である。それをよく τ と書く。（ τ はギリシャ文字でタウと読む）。なぜこういう定義をしたか疑問に思うかもしれないが、こう定義することが数学的にもっともシンプルだからである。τを用いるとＮ−ｔグラフの式は式（３）のようになる。


τ がλと単純な関係にあることが分かる。


さて、式（１）（２）（３）が一致することを確認しよう。それには半減期 Ｔ を λ であらわすのが一番である。
式（１）より、半減期だけ時間がたつと数が半分にならなければいけないので、下式が成り立つ。

logをとる。


よって、λ と Ｔ の関係が判明した。
ついでに Ｔ と τ の関係も書いておくと、Ｔ＝ τ log2 となる。つまり半減期は平均寿命のlog2倍（0.693倍）となる。半減期より平均寿命の方が長いのは明らかである。


結局、放射性同位体が崩壊して減っていく様子を、式で示すのに一般的な書き方が３通りあるということである。


せっかく、平均寿命について扱ったので、理科年表からいくつかの粒子の平均寿命を引用してみる。値はシンプルな形の表記（そして有効数字は２桁）に改めている。

粒子	平均寿命
中性子	890s
ミューオン	2.2×10-6s
π＋（π−）	2.6×10-8s
Ｗ＋（Ｗ−）	5.1×10-44s

なお、この表での中性子は核外で孤立した中性子のことである。中性子は陽子に比べてわずかにエネルギー状態が高い。もし逆だったら孤立した陽子（つまり^１Ｈの原子核）が平均寿命15分くらいで中性子に崩壊することになる。宇宙の水素の量は劇的に減って宇宙は今とはまったく異なる様相となっていただろう。