コイルの電流の減衰
回路の設定
少々わざとらしいが、以下のような状況を考える。（単純な形の微分方程式にするために、このような設定にしている）。まず、自己インダクタンス L のコイルに直流電源をつなげ、一定の電流 I0 が流れるようにする。その状態から瞬間的にスイッチを切り替えてコイルと抵抗器(抵抗 Ｒ ）が接続されるようにする。
このあと、電流はどのように変化するのか考えてみよう。直観的には、徐々に減衰すると考えられるが、ちゃんとその通りの電流の式を得られるだろうか。
蛇足だろうが、電流がすぐにゼロにならないのは、コイルを流れる電流には慣性みたいなもの（同じ状態を保とうとする性質）があるからである。なぜそういう性質があるかといえば、電流が作る磁場が同じ状態を保つようにコイルに誘導起電力が生じるからである。
キルヒホッフの法則を微分方程式で書く
さて、キルヒホッフの法則を用いて、この回路が満たす微分方程式をたてていこう。スイッチを切り替えた瞬間を時刻ゼロとする。時刻 ｔ での回路を流れる電流を Ｉ（ｔ） とする。電流は下図のような向きをプラスとする。（逆向きをプラスとしても結論は同じになる）
スイッチを切り替えることで電流が変化することは明らかである。するとコイルに自己誘導の起電力が生じる。その起電力の向きと大きさについて考えるときは、プラスの向きの電流が増える場合を考えると楽だろう。（現実にはプラスの向きの電流が減るのだが、 ｄＩ／ｄｔ がマイナスになるので考えづらいかも。もちろん、それで正しく考えられるならそれで構わない）
コイルの自己誘導起電力の向きに気をつけると、キルヒホッフ第２法則より以下の式が成り立つ。
これはそのまま、 Ｉ についての微分方程式になっている。
微分方程式を解く
さて、次に Ｉ についての微分方程式を解こう。この微分方程式は変数分離できる。分離してみよう。
分離が終わったので、今度は積分していく。
かくして Ｉ が満たすべき一般解が求まった。
初期条件から特解を求める
次に一般解から特解を求めよう。初期条件は、時刻ゼロで電流が Ｉ０ だということである。ｔ＝０ を一般解に入れると、Ｉ ＝ Ｂ となるが、これが Ｉ0 なのである。
さあ特解が求まった。この特解をグラフに描こう。電流がこのように減っていくことは直観的に納得できることだろう。
電流の強さが １／ｅ 倍になるのにかかる時間が Ｌ に比例するのは、 Ｌ が大きいほどコイルの電流の慣性が大きいからだし、 Ｒ に反比例するのは Ｒ が大きいほど早く電力が消費されるからである。