電気振動（ＬＣ）

回路の設定

充電されているコンデンサーにコイルのみを接続すると、その後、どのような現象が起きるだろうか。
高校物理でも扱うように、電気振動が起きる。その様子を、微分方程式を解く、という視点で考えてみよう。

電荷Ｑ₀を充電したコンデンサーに、自己インダクタンスＬのコイルを接続して、スイッチを入れた瞬間を時刻ゼロとする。


上図のようにプラスの向きの電流と、コンデンサーの極板のプラスマイナスを定義する。時刻ｔでの電流をＩ、コンデンサーの電荷をＱとする。プラスの向きに電流が流れると、コンデンサーのプラス側の極板では電荷が増えるので、ＩとＱの間には、次のような関係があるとわかる。


コイルは自己誘導によって、誘導起電力をつくる。そのことに気をつけてキルヒホッフ第２法則の式を立てよう。
立てたあと、さらに、上に書いたＩとＱの関係式を代入する。すると、以下のような形の式となる。


これは、力学での単振動の式にそっくりだが、それについては別な機会に書くことにしよう。

未定定数法

さて、上のキルヒホッフ第２法則から作った方程式から電荷Ｑが求まるはずだが、これまでと異なり２階の微分が出てきている。幸い、線形で斉次なので、解き方はそれほど難しくはない。
解き方は何通りかあるが、直観的にわかりやすいものを紹介しよう。未定定数法と呼ばれる方法である。これは、解の形を予想して、定数を未定のまま微分方程式に代入し、定数を求める、というやり方である。

この２階微分方程式をみると、２階微分したものが、微分する前のものと似ていることを主張している。


微分しても形を変えない関数として、我々はｅ^ｔを知っている。
そこで、この２階微分方程式の解の形を、Ｑ＝Ａｅ^λｔと仮定する。ここでλが未定定数である。なぜか文字はλを使うことが多い。（Ａは、ある解の定数倍も解であることを意味する積分定数）
これを微分方程式に代入すると、λについての式が得られる。このような式を特性方程式という。この式を解いてλを得る。


２階の微分方程式であるから、その一般解には積分定数が２つ出てくるはずである。よって、ここで得られた２つのλに対応する項の和が一般解となる。だがλとして虚数が出てしまった。しかし、コンデンサーの電荷Ｑが複素数になることはありえず、実数でなければならない。この暗黙の条件によって一般解の形が限定される。オイラーの式を使って整理してみよう。積分定数を工夫すれば、虚数部を消すことができる。


以上のように、電荷Ｑが満たすべき一般解が得られた。（積分定数がちゃんと２つある）。ちなみに、２階に限らず線形な斉次方程式ならば、このように特性方程式を導くことで解を得られる。

さて、一般解が得られたので、そこから初期条件を満たす特解を求めよう。初期条件は、時刻ゼロにコンデンサーの電荷がＱ₀で、電流がゼロ、ということである。電流は電荷Ｑを時刻ｔで微分すると得られる。

解の意味

かくして、初期条件を満たす解が得られた。次にこの解の物理的な意味を考えてみよう。
電荷が周期的に変化することがわかるだろう。その周期は以下のようになる。


電荷と電流の時間変化の様子をグラフにしてみよう。


コンデンサーの電荷の大きさが最大のとき電流はゼロで、電荷がゼロのとき電流の大きさが最大となる。電流の位相が電荷に比べπ／２だけ進んでいる。
電荷がコンデンサーの極板間を、コイルを通って振動しているイメージが描けるだろうか。コンデンサーの電荷がゼロになったときに電流が止まらないのは、コイルの自己誘導のためである。
また、電流の最大値I₀がωに比例するが、ωが大きいほど短い周期で電荷が振動するのだから、ωが大きいほど電流が大きくなるイメージは持ちやすいだろう。
この現象は力学の単振動とセットで理解すると良いのだが、単振動については別の機会に。