交流ＬＲ回路
回路の設定
時刻によって変化する交流電圧に、コイルを接続する場合を考えよう。電源の電圧 Ｖ は Ｖ（ｔ） ＝ Ｖ0sin ωｔ の式にしたがって変化すると考える。まずは、コイルを抵抗抜きで交流電源に接続する場合を考える。キルヒホッフの第２法則の式を立ててみよう。
自己誘導によりコイルに生じる誘導起電力の向きがわかりにくいかもしれないが、プラスの向きの電流が増加する場合で式を立てれば、それ以外の場合も満たす式が手に入る。
リアクタンスと位相のズレ
さて、上のキルヒホッフ第２法則から作った方程式から電流Ｉが求まる。
途中、積分定数Ｃをゼロとした。これは時刻ゼロでの初期条件から考えようとすると厄介な感じもあるのだが（時刻ゼロで電流がいくつであるべきか明白ではないから）、長い時間での電流の様子を考えれば、プラス向きに流れるときとマイナス向きに流れるときとで、電流は対称的であるはずだからＣ＝０であるべきことが分かる。（正確には、後で扱うように回路中に抵抗を含む場合で考えるべきである）。
電流の式はcosのままでもよいのだが、sinに直した。位相の関係を分かりやすくするためである。
さて、電圧と電流の時間変化の様子を把握するために、あえて電圧と電流をひとつのグラフにまとめて描こう。
（あ、電流の式が間違えてる！直すの面倒なので、文章で訂正。位相がωｔ＋π／２ではなくωｔ−π／２です）
上で求めた電流 I の式は主に２つのことを意味する。
- 電流の最大値 I0と電圧の最大値 Ｖ0 の間にはＶ0＝I0Ｌωの関係がある。
- 電流の時間変化と電圧の時間変化の様子がずれていて、電流の方が π／２ だけ位相が遅れている。
電流が最大になる時刻と電圧が最大になる時刻はズレているが、最大値同士の間には単純な関係がある。しかも、その関係はオームの法則（Ｖ＝ＩＲ）とそっくりな単純なものである。そこで、オームの法則の抵抗Ｒに相当するものとして、Ｌωをコイルのリアクタンスと呼ぶ。Ｌωの単位は抵抗と同じである。リアクタンスが大きいほど交流は通りにくい。（電流が小さくなる）。
コイルに交流電源を接続する場合、電流の最大値を求めたければ、電圧の最大値とリアクタンス Ｌω から簡単に求めることができる。
(2)について
なぜ電流の時間変化と電圧の時間変化の様子はズレるのだろう。素朴に考えてみよう。
電流が流れていないコイルに電流を流そうとして電圧を加えはじめても、コイルは自己誘導で変化を嫌がるのですぐには流れない。また、コイルの電流を止めようとして電圧を加えるのをやめても、やはり自己誘導で電流を流し続けようとする。これだけでも電流の位相が電圧の位相より遅れるイメージはもてる。コイルは同じ電流を保とうとする「慣性」のようなものをもっているのである。コイルに加わる電圧がゼロのとき、コイルに生じる逆起電力はゼロで、電流は極値（極大値、極小値）になっている。電圧がゼロのとき、電流は最大・最小になっているのだから、電流の位相が電圧に対してπ／２ずれることが分かる。
[リアクタンスの大きさがＬとωで決まる]
コイルのリアクタンスはなぜＬとωで決まるのだろう。このことも素朴に考えてみたい。
Ｌが大きいとリアクタンスは大きい。Ｌが大きいコイルとは、自己誘導が強く、同じ電流を保とうとする「慣性」が大きいコイルのことである。Ｌが大きいコイルほど電流を流すのが大変そうなイメージがもてる。
さて、ωが大きいほどリアクタンスが大きいのだが、それはなぜか。ωが大きいと、その電源電圧のはやい変化にコイルがついていけない。よって流れる電流は小さいことになる。
コイルのリアクタンスはなぜＬとωで決まるのだろう。このことも素朴に考えてみたい。
Ｌが大きいとリアクタンスは大きい。Ｌが大きいコイルとは、自己誘導が強く、同じ電流を保とうとする「慣性」が大きいコイルのことである。Ｌが大きいコイルほど電流を流すのが大変そうなイメージがもてる。
さて、ωが大きいほどリアクタンスが大きいのだが、それはなぜか。ωが大きいと、その電源電圧のはやい変化にコイルがついていけない。よって流れる電流は小さいことになる。
交流ＬＲ回路
コイルだけでなく抵抗もある回路に、交流電源をつなげた場合どうなるのだろう。コイルに抵抗をつなげスイッチを入れる場合を考える。この場合でのキルヒホッフ第２法則の式をたてよう。
これは非斉次方程式である。交流ＣＲ回路で扱ったように、定数変化法を用いれば解くことができる。
この場合、非斉次の原因である非斉次項はＶ0sinωｔである。よって、これを除いた斉次方程式をまず解く。１階斉次方程式は変数分離で解けるのであった。
この定数Ｂを時刻ｔの関数 Ｂ（ｔ）として、非斉次方程式に代入し、Ｂ（ｔ）を求めよう。積分の計算は煩雑だが、やはり高校数学の範囲内である。
求まったＢ（ｔ）を電流Ｉ（ｔ）の式に入れてみよう。
この式の意味を解釈してみる。この式は主に３つのことを意味しいてる。
- 時刻が大きくなるほど、第２項はゼロに近づき無視できるようになる。
- 電流の最大値 I0と電圧の最大値 Ｖ0 の間には下式のような関係がある。
- 電流は電圧にくらべ位相がθ遅れている。
初期条件が何であれ時間がたつとその影響はなくなる。つまり積分定数の影響が消える。交流ＣＲ回路と同様である。
(2)について
ＬＲ回路であってもやはりオーム法則のような関係が成り立つ。ただし最大値になる時刻はずれている。電流と電圧の位相はズレているから。この√部分がこの回路のインピーダンスである。
(3)について
交流電源にコイルだけをつなげた場合、電流は電圧よりπ／２というキレイな値だけ位相が遅れるのであった。いまの場合、電流と電圧の位相がズレない抵抗もつながっているので、全体としてはその両方の効果が出る。その結果がθということである。θは抵抗値ＲとコイルのリアクタンスＬωで決まる。Ｒに比べてＬωが大きいほど位相のズレはπ／２に近づく。
ＬＲ回路も考え方はＣＲ回路とほとんど同じである。（だから文章もほとんど同じになってしまった）