交流ＣＲ回路
回路の設定
さて、今度は時刻によって変化する交流電圧に、コンデンサーを接続する場合を考えよう。電源の電圧 Ｖ は Ｖ（ｔ） ＝ Ｖ0sin ωｔ の式にしたがって変化すると考える。まずは、充電されていないコンデンサーを抵抗抜きで交流電源に接続する場合を考える。直流電源ではこのような場合の時間変化の様子は考えられなかったのだが、交流電源ではどうなるだろう。
キルヒホッフ第２法則の式をみてみると、問題ないことがわかる。なぜなら、 ｔ＝０ で Ｑ＝０ であっても Ｖもゼロだからである。（ただし Ｑ＝０ なのに Ｖ がゼロでないような電圧をかけたり、 Ｑ＝０ でない充電されたコンデンサーに交流電圧をゼロからスタートする場合は、式が破綻する）
リアクタンスと位相のズレ
さて、上でキルヒホッフ第２法則から作った方程式から単純に電荷Ｑが求まる。
このＱを時刻で微分することで電流Ｉを求める。
cosのままでもよいのだが、sinに直した。位相の関係を分かりやすくするためである。
さて、電圧と電流の時間変化の様子を把握するために、あえて電圧と電流をひとつのグラフにまとめて描こう。（最大値は一般に異なるので山谷の大きさを変えて描いているが、そもそもが異なる単位のものをひとつにまとめて描いているので、どちらを大きく描くかには、意味がない）。
上で求めた電流 I の式は主に２つのことを意味する。
- 電流の最大値 I0と電圧の最大値 Ｖ0 の間にはＶ0＝I0／Ｃωの関係がある。
- 電流の時間変化と電圧の時間変化の様子がずれていて、電流の方が π／２ だけ位相が進んでいる。
電流が最大になる時刻と電圧が最大になる時刻はズレている。にもかかわらず、最大値同士の間には単純な関係がある。しかも、その関係はオームの法則（Ｖ＝ＩＲ）とそっくりな単純なものである。そこで、オームの法則の抵抗Ｒに相当するものとして、１／Ｃωをコイルのリアクタンスと呼ぶ。１／Ｃωの単位は抵抗と同じである。リアクタンスが大きいほど交流は通りにくい。（電流が小さくなる）。
コンデンサーに交流電源を接続する場合、電流の最大値を求めたければ、電圧の最大値とリアクタンス １／Ｃω から簡単に求めることができる。
(2)について
なぜ電流の時間変化と電圧の時間変化の様子はズレるのだろう。素朴に考えてみよう。
たとえばコンデンサーの電荷が最大になったとき、もうそれ以上コンデンサーに電荷は貯まらないのだから電流はゼロにならなければならない。逆にコンデンサーの電荷がゼロになったときはコンデンサーの電位差もゼロだからもっとも電流が流れ込みやすい状況になっている。よって、電流と電圧の位相がズレることが分かる。
[リアクタンスの大きさがＣとωで決まる]
コンデンサーのリアクタンスはなぜＣとωで決まるのだろう。このことも素朴に考えてみたい。
Ｃが大きいとリアクタンスは小さくなる。Ｃが大きいコンデンサーというのは、電流が流れこんできて電荷が増えてもなかなか電位差が増えないコンデンサーのことである。よって、交流電源の電圧変化にコンデンサーの電圧（電位差）が一緒に変化するためには大きな電流が流れることになる。
ではリアクタンスがωと関係するとはどういうことだろう。直流回路では、回路の電流の通りにくさ（抵抗）は回路だけで決まり電源とは関係ないのであった。（電源内部の抵抗も外部回路の抵抗とみなすことができる）。しかし、交流では回路の電流の通りにくさ（リアクタンス）が回路自体だけでは決まらず電源の電圧変化の様子（ω）によっても変化するのである。つまり同じ回路にも異なるωの交流電圧を加えればリアクタンスが変化するということである。
さて、ωが大きいほどリアクタンスが小さいのだが、それはなぜか。たとえばωが大きいと、その電源電圧のはやい変化にコンデンサーがついていくために、コンデンサーの電荷もはやく変化しなければならない。そのためには大きい電流を流すしかないのである。
コンデンサーのリアクタンスはなぜＣとωで決まるのだろう。このことも素朴に考えてみたい。
Ｃが大きいとリアクタンスは小さくなる。Ｃが大きいコンデンサーというのは、電流が流れこんできて電荷が増えてもなかなか電位差が増えないコンデンサーのことである。よって、交流電源の電圧変化にコンデンサーの電圧（電位差）が一緒に変化するためには大きな電流が流れることになる。
ではリアクタンスがωと関係するとはどういうことだろう。直流回路では、回路の電流の通りにくさ（抵抗）は回路だけで決まり電源とは関係ないのであった。（電源内部の抵抗も外部回路の抵抗とみなすことができる）。しかし、交流では回路の電流の通りにくさ（リアクタンス）が回路自体だけでは決まらず電源の電圧変化の様子（ω）によっても変化するのである。つまり同じ回路にも異なるωの交流電圧を加えればリアクタンスが変化するということである。
さて、ωが大きいほどリアクタンスが小さいのだが、それはなぜか。たとえばωが大きいと、その電源電圧のはやい変化にコンデンサーがついていくために、コンデンサーの電荷もはやく変化しなければならない。そのためには大きい電流を流すしかないのである。
交流ＣＲ回路
では、コンデンサーだけでなく抵抗もある回路に、交流電源をつなげた場合どうなるのだろう。充電されていないコンデンサーに抵抗をつなげスイッチを入れる場合を考える。この場合でのキルヒホッフ第２法則の式をたてよう。
これをＱについての微分方程式にするために、ＱとＩの関係式を用いる。（Ｉについての方程式にしようとすると積分方程式になってしまう）。
これは非斉次方程式である。すでにコンデンサーの充電やコイルに電流を流すで扱ったように、定数変化法を用いれば解くことができる。
この場合、非斉次の原因である非斉次項はＶ0sinωｔである。よって、これを除いた斉次方程式をまず解く。斉次方程式は変数分離で解けるのであった。
この定数Ｂを時刻ｔの関数 Ｂ（ｔ）として、非斉次方程式に代入する。
最後の積分は慣れてないと難しく感じるだろうが、高校数学の範囲内である。
さて、求まったＢ（ｔ）を電荷Ｑの式に入れてみよう。
このままだと分かりにくいので、気が早いようだが、時刻で微分して電流Ｉを求め、式を見やすいように整理していく。
あまりに複雑で思考がストップしてしまう人もいるだろうが、辛抱してこの式の意味を解釈してみる。この式は主に３つのことを意味しいてる。
- 時刻が大きくなるほど、第２項はゼロに近づき無視できるようになる。
- 電流の最大値 I0と電圧の最大値 Ｖ0 の間には下式のような関係がある。
- 電流は電圧にくらべ位相がθ進んでいる。
定数Ｄが何であれ、充分時間が経過したあとなら電流は単純なサインカーブを描いているとみなせるということである。定数Ｄは初期条件によって決まるのだから、つまり初期条件が何であれ時間がたつとその影響はなくなるということである。だからここでは初期条件から定数を求める作業も省略する。高校物理では充分に時間が経過したあとの場合で考えていたことがわかる。
(2)について
ＣＲ回路であってもやはりオーム法則のような関係が成り立つということである。ただしこれは最大値同士の間の関係であることに注意。電流と電圧の位相はズレているのだから。このとき、オームの法則の抵抗と同様の役割を果たすのは√の部分である。これは抵抗とリアクタンスが合成されたものであるから、抵抗ともリアクタンスとも呼ぶわけにはいかない。そこでインピーダンスという名前が用意された。impedeとは「邪魔する」という意味である。
(3)について
交流電源にコンデンサーだけをつなげた場合、電流は電圧よりπ／２というキレイな値だけ位相が進むのであった。しかしいまの場合、電流と電圧の位相がズレない抵抗もつながっているので、全体としてはその両方の効果が出る。その結果がθということである。θは抵抗値Ｒとコンデンサーのリアクタンス１／Ｃωで決まる。Ｒに比べて１／Ｃωが大きいほど位相のズレはπ／２に近づく。
高校でも交流のインピーダンスを扱うが、厳密にはこのような数学的な手法が必要なことを、うまい工夫で回避して結論に達していることが実感できる。