コイルに電流を流す

回路の設定

自己インダクタンス Ｌ のコイルに、直流電源（電圧 Ｖ ）で電流を流し始めるときを考える。
単純に考えるとそのときの回路は下のようになる。コンデンサーの充電とは異なり、この回路でキルヒホッフの第２法則をたてると、一見矛盾はないようにみえる。


しかし、この式を解くと恐ろしいことになる。


時間に比例して電流が増加するのである。つまり時間がたつにつれ電流の強さが ∞ に発散する。もちろん、これは抵抗がない状況を考えてしまったから生じたことだ。（電源が電気的エネルギーを電流に与え続けているのにそれを消費するところがどこにもない）。そこでやはり抵抗も回路の中に入れてキルヒホッフ第２法則の式をたてていこう。

キルヒホッフの法則を微分方程式で書く

さてキルヒホッフの法則を用いて、この回路が満たす微分方程式をたてていこう。
スイッチを入れた瞬間を時刻ゼロとする。時刻 ｔ での回路を流れる電流を Ｉ（ｔ） とする。電流は下図のような向きをプラスとする。（逆向きをプラスとしても結論は同じになる）
コイルの自己誘導起電力の向きに気をつけると、キルヒホッフ第２法則より以下の式が成り立つ。


これはそのまま、 Ｉ についての微分方程式になっている。

微分方程式を解く

さて、次に Ｉ についての微分方程式を解こう。コンデンサーの充電と同様に、この微分方程式は非斉次方程式で、変数分離できないことがわかる。「定数変化法」を用いよう。


まず、非斉次項を取り除いた斉次方程式を、変数分離で解く。


ここで得られた解の定数 Ｂ を、 ｔ の関数 Ｂ（ｔ） とし、そのときの Ｉ（ｔ） が非斉次方程式を満たすと仮定する。さっそく代入してみよう。


２つの項が打ち消しあったが、これが偶然でないことは、コンデンサーの充電と同じである。さて、Ｂ（ｔ） が満たすべき微分方程式が出てきた。これを変数分離で解く。


求まった Ｂ（ｔ） を Ｉ の式に入れると、知りたかった Ｉ の一般解は以下の通りとわかる。

初期条件から特解を求める

次に一般解から特解を求めよう。初期条件は、時刻ゼロで電流がゼロだということである。
ｔ＝０ を一般解に入れると、Ｉ ＝ Ｖ／Ｒ ＋ Ｄ となるが、これがゼロになのである。よって、 Ｄ ＝ − Ｖ／Ｒ とわかる。 さあ特解が求まった。この特解をグラフに描こう。


電流がこのように増えていくことは直観的に納得できることだろう。最終的に Ｖ／Ｒ となることも回路の状況から考えて納得できることである。（電流が一定になるとコイルでの誘導起電力がゼロになり、単に抵抗 Ｒ に電圧 Ｖ をかけた場合と同じになる）。

時定数

コイルに電流を流し始めるときの微分方程式は、コンデンサーに充電するときとよく似た微分方程式になって、はっきりいって式変形の方針はまったく同じなので、少しは新しい内容を紹介しよう。
この２つのケースは過渡現象といわれる。定常的な状態（コンデンサーなら充電が完了した状態、コイルなら定常電流が流れるようになった状態）へ移行するまでの現象ということである。
この定常的な現象に到達するまでの時間は、理屈の上では ∞ である。しかし、回路の Ｌ とか Ｒ とかによって、（ほぼ）定常状態に達するまでの時間は明らかに異なる。そこでその目安とする時間を考えたい。そのために編み出されたのが「時定数」である。
具体的に、コイルを流れる電流のグラフを考えよう。このグラフの、時刻ゼロでの接線を考える。そして、その接線が Ｉ ＝ Ｖ／Ｒ の線と交わるまでの時間を求めてみよう。


この値 Ｌ／Ｒ を時定数という。この値が大きいほど、定常状態に近づくのに時間がかかることになる。いまの場合、自己インダクタンスが大きいほど、抵抗が小さいほど、定常状態に到達するまでの時間が長い。（直観的にアタリマエだ。しかしそれぞれに比例・反比例することが明示されているところに意味がある）
時定数は、スタートでの増加ペースが続いたとしたら定常状態の値に何秒後に到達するか、ということを示すものである。他の過渡現象でも同様に時定数を考えることができる。所詮は定常状態に達するまでの時間の目安に過ぎないのであって、その目安としてはなかなか自然な定義かな、と思う。