コンデンサーの充電

回路の設定

コンデンサー（静電容量 Ｃ ）に直流電源（電圧 Ｖ ）で充電することを考える。
単純に考えて充電する回路は下図のようになるが、実はこの回路は論理的には破綻する。キルヒホッフ第２法則の式をたててみるとわかる。電荷 Ｑ ＝ ０ から始まるのに電源の電位差 Ｖ はゼロではないのだから。（最終的に充電される電荷を求める場合はこの式で問題ない。いまは Ｑ の時間変化を考えたいので不適）


よって抵抗器も考えなければならない。その抵抗値を Ｒ とする。そうすると抵抗器に電流が流れるときの電圧降下があるので矛盾が生じない。
さて、このような回路に充電するときに、コンデンサーの電荷や回路を流れる電流は、どのように時間変化するだろうか。直観的に下のようなグラフになると予想されるが、ちゃんとそのような式が導出されるだろうか。

キルヒホッフの法則を微分方程式で書く

さて、キルヒホッフの法則を用いて、この回路が満たす微分方程式をたてていこう。
充電を開始した瞬間を時刻ゼロとする。時刻 ｔ でのコンデンサーの電荷を Ｑ（ｔ）、回路を流れる電流を Ｉ（ｔ） とする。電流は図のような向きをプラスとする。（逆向きをプラスとしてもよい。式は変わるが結論は同じ） するとキルヒホッフ第２法則より以下の式が成り立つ。


またキルヒホッフの第１法則（電荷保存則）より、電流が流れた分、コンデンサーの電荷は変化する。それを式にすると下のようになる。いまの向きの設定では、プラスの向きに電流が流れたときにコンデンサーの電荷が増加する。


以上の２つの式をあわせる。

かくして Ｑ についての微分方程式がたてられた。コンデンサーの放電と同じように、 Ｑ についての微分方程式を解いて Ｑ の式が得られれば、それを ｔ で微分して電流 Ｉ の式も得られる。

微分方程式を解く

さて、あとは微分方程式を解いて一般解を求め、初期条件から特解を手に入れればよいのだが、困ったことがある。それは上で求めた微分方程式は変数分離しにくいということである。（変数分離しようとしてやってみよ。実はできなくはないのだがノーヒントでやるのは難しい）
なぜ変数分離しにくいか。その原因は定数項 Ｖ にある。このような、ＱともＱの微分（ ｄＱ／ｄｔ ）とも関係ない項を非斉次項という。（なぜそういう名前がついてるのか現段階ではボクの不勉強でハッキリしない。ちなみに英語では homogenous 。同次とも訳される。斉も同も「等しい」という意味である）
さて、変数分離できない非斉次項を含む微分方程式から、いったいどうすれば一般解を得られるのだろう。
そのために編み出された方法がある。「定数変化法」と呼ばれるものである。

定数変化法

非斉次項を含む式を非斉次方程式といい、含まない式を斉次方程式という。（そのまんま）


定数変化法を用いて非斉次方程式の解を求めるために、まず最初に非斉次方程式から非斉次項を取り除いた斉次方程式を考え、その一般解を求める。すでに扱ったように変数分離で簡単に求めることができる。


もちろん、この Ｑ の式は非斉次項 Ｖ を含む非斉次方程式は満たさない。（代入して確認してみよ）。では、いったい何のために斉次方程式の一般解を求めたのか。
ここで大胆な仮定をする。斉次方程式の一般解に含まれる定数 Ｂ を、 ｔ の関数Ｂ（ｔ）としたときに、 その Ｑ が非斉次方程式の解になっていると仮定するのである。この仮定が正しい保障なんていまのところない。しかし、この仮定に従って結果的に一般解が得られるなら、それでいいのである。（現に下でやるように得られる）。


「え、そんな偶然にたよったやり方でいいの？」と思うかもしれないが、偶然だろうと何だろうと一般解が得られるならそれでよいのである。実際、微分方程式の解法というのは「発見」されるものである。
さて、では Ｂ を定数ではなく ｔ の関数とみなして、非斉次方程式に代入してみよう。
（斉次方程式の一般解での定数を関数とみなして非斉次方程式の一般解を求める。この「定数変化法」は、非斉次方程式を解く有効な手段である）


２つの項が打ち消しあった。実は、このことが定数変化法の眼目である。この２つの項が打ち消しあうのは偶然ではない。斉次方程式の一般解を活用した目的は、ここにある。なぜこの２つの項が必然的に打ち消しあうのか考えてみよ。
２つの項が打ち消しあって消えることで、Ｂに関する微分方程式は変数分離ができるようになった。（これはとっても嬉しいこと）。さっそく分離して積分してみよう。


かくして、Ｂ（ｔ）が満たすべき関数の形が確定した。また、これが求まったということは仮定が正しかったことも意味している。 では、知りたかった Ｑ の一般解を書いてみよう。


ちゃんと定数Ｄが入っているので、一般解の資格を満たしている。一階の微分方程式の一般解は必ず定数を１つ含む。逆に言えば微分方程式を満たし、かつ、定数を１つ含む関数は、その一階微分方程式の一般解なのである。（それがたとえ偶然見つかったものであっても）

初期条件から特解を求める

いまの場合の初期条件は、時刻ゼロで電荷Ｑがゼロであることである。
Ｑの一般解に ｔ ＝ ０ を代入すると、ＣＶ＋Ｄ となる。これがゼロにならなければならないのだから、Ｄ＝−ＣＶとなる。 さて、得られた特解の式とグラフを描いてみよう。ちゃんと直観と合っている。 Ｑ ＝ ＣＶ を漸近線とすることも状況にあった結論である。（最終的に充電される電荷量は ＣＶ なのだから）


また、電荷を時間微分したものが電流であるので、電流の式とグラフは以下のようになる。これもまた直観と合致する。時刻ゼロで 電流の強さが Ｖ／Ｒ であることも、最初コンデンサーの電位差がゼロであることから明らかに状況に合っている。